由此可见，如果以银能够称量的“分”为个位单位，则“两”“钱”分别代表百位、十位。而其下的“厘”“毫”“丝”“忽”等则对应于十分位、百分位、千分位、万分位等，以此类推。算位的过长使用，确实会造成诸多弊端。如早在元代时，处理钱粮长尾数字在官方文件中已有明确界定。对尾数按某位以下省去的“四舍五入”概念已经存在：

（大德十一年正月，江浙行省）至有分以下厘、毛（毫）、系（丝）、忽、微、尘，不惟紊繁，实是虚文而已。拟自今后，凡有收支物折中统宝钞，积算到总数。若至五厘，收作一分，五厘以下削去……今检校各处申呈一应收除钱粮卷宗内，往往纽折物价，于厘、毫之下，复有丝、忽、微、尘、撮、圭、粒等数，不惟虚繁数目，抑且文繁……（至大三年三月，江西行省）今次报到钱粮文字，往往不行去其零数，致使文繁，妨碍类总。……议得，今后至元钞并以厘为止，五毫以上收作一厘，五毛（毫）以下削而不用。至大银钞并以毫为止，五系（丝）以上收作一毛（毫），五系（丝）以下削去。

时至明代赋役征收制度改革，一条鞭法施行之后，在地方上征收钱粮时，较长的小数尾数在实际征收过程中可能并不实用。收头组织征税活动，部分地区实行自封投柜。官给印信簿后，明注某人钱粮若干。里长或花户照砝码秤兑足数，收头随即登记印簿勾销赤历。遇应解之时，官收取原给印簿、赤历，核对后注明某柜解银若干，并由里长轮流管解。最后令收头与里长一起拆封，自倾成锭，印贴锭底，给批起解。在此过程中，册载征收的问题主要在收兑钱粮之时，小民一般并不计较额征长尾数数字：

议清查派额银数之暗加也，在丝、忽、尘、渺之间，分之无几，合之实多。一户银数载入几丝、几忽、几渺、几尘，此丝、忽、尘、渺之细，岂法马可兑，官等可秤即一厘。交之尚不足也，小民零星交银，多以分计。一次一厘，十次则一分矣。一户一分，合之通县则计两，计百，计千矣。此惟总书知之，而官之耳目不及清算，民视毫忽不在念，亦不与之算，此暗加之法也……乡市愚民不晓算法，不入衙门，不知今年额派若干，某项地每亩应派银若干，某则丁每丁应派银若干，惟听户书与之，由票照票尚纳此由票计几万张，谁一一对之？其间有贿者减无贿者，加以所加抵所减，又于原额不失此明加之法也。……自后钱粮算法至厘毫而止，不许添入“丝、忽、渺、尘、沙、漠”等字，彼云算盘不凑总，勿之。

上述删减无用算位的思想，其实在清代的钱粮征收时也同前代一样，在地方实际操作时不断简化，如将易知由单的奇零尾数归减：

查本部覆奏删减银米等项零星尾数，原折内开凡银数统以厘为断，其不及一厘之零数，应请折中归减，在五毫以上者作为一厘归并造报，不及五毫者悉行删除。查各州、县、卫经征钱粮向例每户每岁各给易知由单，单内前列细款，后开总数，便民输纳，嗣后应征钱粮统令于由单总数之下，遇有奇零遵照归减，其单内前列细款仍存其旧，以符《赋役全书》、鱼鳞册籍之款，至如征解关税等项条目，虽多琐碎，不免有零星撒数，但每款各有成总，原不难删繁就简。

可见，“零星尾数”类长算位的删繁就简是一大趋势，而《赋役全书》、鱼鳞册上记载的各类款目数据，起到了范本的作用，这也为我们梳理具体尾数问题提供了思路。

靳辅所在的康熙年间，清廷不断推行尾数缩减政策。康熙二十四年（1685）议修《赋役全书》及给由单删去“丝”“勺”以下算位，归“丝”于“毫”，归“抄”于“勺”。由于“丝”以下，并无法实际度量。后于乾隆三十一年（1766）又改为以“厘”为断，次年又将银数改为以“毫”为断，米数以“勺”为止。这些过程也早已广为学者所认识，但事实上，我们并不清楚这些政策实质上何时广泛应用于赋役册书。往往古人处理尾数的记录中，可能并不严格按此规则，彻底删减丝、毫尾数算位的方案并未得以大规模执行过。仅笔者目及，直至清末，地方志、《赋役全书》等仍有大部分数据的细节款项，大多存在着丝、毫以下的小数算位。也有零星记录记载称，旧的赋役册籍流传太广，而地方上仍采用原来旧的《赋役全书》。

升斗小数为合、勺、抄、撮、圭、粟、颗、粒、黍、稷、禾、糠、粃、粞，以十递减。法码小数为厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、逡、巡、溟、清、须、净，以十递减。又有糢、糊等，长短小数寸、分、厘、毫以下同。其立名多不通，夫小数惟参差互求，则愈析愈多。

从该材料可见，这些十进制的数位，根据体积、重量、长短尾数名称不同，其中长短与记银尾数在“毫”以下均相同，并且各个地方名目不一。伴随着小数计算，这些尾数位数会不断增多，非常复杂和繁琐。可见与中央政令删减尾数“算位”的记录不同，地方史料记录仍有繁琐的算位存在。据笔者所览之钱粮尾数，大致如前述学者所述，若以两开始，往下十余位（大部分为14位以内），但也偶见更长尾数的，如誊抄自《赋役全书》的《震泽县志》与《直隶赋役全书》等。尽管文本上记载复杂，但百姓对于记录规则是比较明了的，例如实际征收地丁税款时，以银1厘纳1文，“钱”“厘”等文字并不会与算位中“钱”“厘”混淆：

小户钱粮数在一两以下住地窎远者，准照小户畸零米麦凑数附纳之例，交与数多之户附带投纳，于纳户印票内注明“某户附带”字样，即令附纳之户领回交本户收执。如在一两以上及为数虽少，情愿自赴交纳者仍验自封投柜。

花户钱粮并尾欠折欠短封银两数在一钱以下者，俱准以钱抵纳。每银一厘纳钱一文，顾完银仍验所收钱文，经征官报名，该管道、府易银起解。

赋税数目如果按照原来文本中汉字算位记载方案，若尾数较长，则非常繁琐。一般“两”之后继以钱、分、厘、毫、丝、忽、微，而“微”以后则出现了地域差异。笔者根据搜集的各省《赋役全书》中记载的银两尾数算位，整理后以表1呈现，便于读者将之转写为规范的阿拉伯数字小数尾数。假如文献中出现的“一两一钱一分一厘一毫一丝一忽一微一纤一沙”，如果在直隶、福建等省可转写为1.111 111 111两，而在浙江则为1.111 111 100 001 1两，在湖南则为1.111 111 101 001两，在陕西为1.111 111 110 001两，各不相同。

二、“算位”的错误理解例释

前述前辈学者对于赋税数字尾数“删繁就简”的认识，直接影响了后世学者对古人统计数据的信任度，他们不仅直观地认为这些长尾数并无实际使用价值，使胥吏从中舞弊，还认为古人未形成确切的会计算法，以致经济数据多不可用。以下将列举几类比较有代表性的问题。

前引黄仁宇对于明代税率“荒唐”的长达12—14位尾数的批评，而事实上除了李龙潜所指这种计数方法实有历史渊源外，笔者曾专门论述过，对于税率，算盘计算时需要批量操作大数乘、除法，“流法”应用将会极大简化运算过程，这说明长尾数税率在明清时期是必要而且必须的，而非“荒唐”作法。

赖建诚在《边镇粮饷：明代中后期的边防经费与国家财政危机，1531—1602》一书中，基于《万历会计录》的统计数目，认为数据本身存在五大问题，即“缺卷缺页”“单位太过杂细”“验算不合”“笔误”“政区重叠”等。但其仅以罗列、整理文献为主，未多作推断。笔者发现，赖著对古人数据的问题过分夸大，是并未认清田赋尾数的两个重要特点：

第一个特点是财政文书中的数据一般并不特别对数位上为零的数字单独写出，而是直接省略，这可能是一种普遍的书写习惯。如我们现在写作“三百零五两”，古人写为“三百五两”，零以下的小数算位也同理如此，如“一两一钱一分一厘一毫一丝一忽”，若毫、丝两位为零，则直接写为“一两一钱一分一厘一忽”。

如此可见，赖氏认为《万历会计录》中存在如下问题：“丝绵折绢34 962匹18丈3.82尺。税丝折绢4 420匹3丈9.99尺。人丁丝折绢40 576匹10丈7.71尺。农桑丝折绢99 140匹55丈5.38尺，又绢22 989匹7.74尺。以上四项绢共202 051匹96丈3.3尺。以上共计五项而非四项；五项总合是202 087匹，而非202 051。”实则赖氏未注意古代传统记数省略“零”算位问题。误将原《会计录》中所载“农桑丝折绢九万九千一百四匹”记作“99 140匹”，当然验算不合，正确数字是“99 104匹”，按此则可验算古人统计皆准确无误。而《会计录》所谓“四项绢之和”也表述正确，因“农桑丝折绢……又绢……”同一项目因后来重复统计，从而合并成“农桑丝折绢”一项计算的。

我们重新回顾梁方仲所提河南省赋税尾数问题，也并非各府、县不同。实际上，尾数单位一般按各省惯例顺序一致，遵循算位“序位相同”原则。如前述河南省“两”以下尾数算位顺序为“钱、分、厘、毛（毫）、丝、忽（乎）、微（未）、纤（先）、沙、尘（臣）、埃、渺、漠、灰”（见表1），因各地尾数算位自“微”以后就有所差异，梁氏所举辉县个别数字省略了“沙、尘”两位，镇平县省略了“埃、渺、漠”，原因是在这几个算位上数字都是零，仅从外观上看，容易误认为是采取了杂乱无章的算位。

著名珠算史学家华印椿在《中国珠算史稿》中引用康熙年间浙江著名算手沈士桂的《新纂简捷易明算法》算例，用以说明《赋役全书》具体由省及府确定额征银数目之计算办法。该算书由于主要介绍珠算口诀及拨盘技术，并未受到赋役史学者重视，而该书最后附录一章为《纂全书法》，专言《赋役全书》以省的额征税如何分配到各府。笔者以此为线索，校对沈士桂原书后，遗憾地发现，由于华氏对“算位”概念的理解偏差，无法复原出沈士桂所载“流法”来快速计算赋税数字的乘除法。他将总额征银“三百六十九万一千二百二十三两二钱二分六厘一毫六丝八忽九微七尘八渺八漠一埃八纤七沙”、杭州府征银“四十三万六千二百四十八两六分七厘九毫一丝七忽九微六尘八漠三埃九纤七沙”、嘉兴府征银“四十一万三千七百四十五两七钱三分九厘九毫八微四尘二渺六漠八埃五纤九沙”分别转写为阿拉伯数字3 691 122.226 168 978 818 7两(实际应为3 691 223.226 168 978 818 7两)、436 248.067 917 968 839 7两（实际应为436 248.067 917 960 839 7两）、413 745.759 984 268 59两（实际应为413 745.739 900 842 685 9两）。这三个误录除了第一个是数字抄错外，后两处错误原因均是华氏未意识到赋税数字中“算位”存在零位占位的问题。即“九毫八微”在“毫”与“微”之间隔了“丝”“忽”两位未写，实则这两位应为“0”“0”。若以华氏抄录的数据，导致后续对“流法”的所有验算推论都不符，而如果换作上述括号中按算位正确转写的数据计算后，发现古人所载以“流法”来折算赋税分配额征地丁税则准确无误，且较为快速。

古人计数第二个特点是尾数算位在实质上只是表示数字的占位单位，并不能理解为字面意思“抄”“撮”“颗”“粒”“纤”“尘”等。如赖建诚认为万历《会计录》的数据问题之一是“单位太杂过细”：“竟然连11斤13两5钱的红花也算是个项目、1匹币帛绢也另成一项……广西太平府都结州的夏税米‘二斗伍升’” ，实则这些都是物料按分配原则转换之后的分数形式数据，如同我们现在的带小数点数据的十分位、百分位、千分位等。

此类误读亦较为常见，如尚春霞指出：“《赋役全书》看起来更像是一本会计账簿，而对所征赋税的数目更是细至一尘一埃，令人叹为观止。”这里尚氏误认为“尘”“埃”为计数单位，实为谬之千里。显然这里的“尘”“埃”与其字面意义不同，也只是表示小数算位而已。

这些除不尽的小数占位单位，可以选用任意的汉字来进行表述，只要地方上的统计规则一致即可。这种地区差异沈士桂也曾明确提到：“浙省银数，各省尾数不同：两、钱、分、厘、毫、丝、忽、微、尘、渺、漠、埃、纤、沙（江南省尾数用微、纤、沙、尘、埃、渺、漠）。”可见，对于浙江、江南省而言，同样的纤、沙、埃、渺、漠汉字对应的却是不同的小数数位。

为验证参与过编纂康熙《浙江赋役全书》的沈士桂的这段话，笔者查阅复旦大学藏康熙《浙江赋役全书》中各县赋税，发现因需要和外省数据对接时，由于地方上算位写法不同而出现过格式统一问题。浙江省的长兴、仁和、归安、乌程等县均需编制“修河米折银”数额，因涉及需起解汇集河工银到中央，编纂者认识到了这些数字上在尾数算位上的差异，如在乌程县项下大字数目“四百九十两七钱三分八厘八毫七丝二忽五微四尘”后小字注明：

查直省《全书》额征钱粮稍尾，微后继之以纤，惟浙省《全书》钱粮稍尾微后递之以尘。历年各属起解俱照本省《全书》数目，以致互异。今于本款下填明河工银四百九十两七钱三分八厘七丝二忽五微四纤，照此填批起解。合应注明每两路费四厘，该银一两九钱六分二厘九毫五丝五忽四微九尘一漠六埃。

这里存在着三组数据，因为“微”之后的算位因直隶和浙江省不同，可能存在着数种组合模式，根据表1算位表，转化为阿拉伯数字列于表2：

从表2可见，根据文中路费银每两4厘进行复核：1.962 955 490 16÷0.004=490.738 872 54。我们发现起解尾数都是参照《浙江赋役全书》为标准，将原小字中错误的数据“490.738 072 54”修正为“490.738 872 54”。而这一修正过程，就先按照直隶的算位标准数字转写为浙江省算位标准数字，将“微”后的“纤”改为“尘”。

三、赋税史中“算位”的研究意义

采用长尾数的算位，多有实际用途，然而在税赋征收中显然不可能用到如此精密的尾数。而《赋役全书》因其有预算性质，呈现了一种“中间过程”，便于核查和订立一种标准。这种传统亦可在早期古算书中找到渊源，如南宋的秦九韶《数书九章》中第五章“赋役类”和第六章“钱谷类”所列实用例题就是如此。计算九则田地，根据不同的亩率进行均分、纳税本折、水脚轻赍耗羡计算等原有题目中，皆不出现长尾数，而在“草”这一部分则多用长尾数表示，这些算例反映的问题在明清赋税征收过程都经常出现。曾美芳曾指出，明末崇祯年间，随兵马粮饷简明册造报规则确立后，钱粮定期奏报的磨勘、开销与逐渐形成的驳查制度，对钱粮奏报数据书写的统一格式提出了要求，而这些钱粮册为后世奏销册之雏形。因此有理由认为《赋役全书》展现的各类数据很可能是为了记录数据产生、制作的“中间过程”，即把预算部分视作实征之“精确标准”，主要是利于文本上的复核或大数的重复性乘除计算。

古代赋税文本上数据的查核，涉及了比率与所征项目的乘除法计算，这在算盘时代，操作技术将非常繁琐。另一方面，算盘真正盛行是在明代以降，随日益增长的商业和赋税计算的需求而广泛应用。认识到这一特点有利于我们由数字文本本身反推、回溯赋税数字的产生、制作过程，可以更明确数据传抄的源流问题，进而加深我们对“一条鞭法”“摊丁入亩”等重大事件的认识。

此外，算位计数法原则应用也不仅限于赋税数据问题。笔者认为，分数、小数类实物也多按此表记，体现出古人可能是将之视为“折算单位”，而非一定归于“赋税单位”或“真实单位”两端。例如，在赋税文本中，清代表示人的单位“丁”，学界一般都认为是赋税单位而非户数或纳税的成年男子数。其主要原因是有分数、小数形式的“丁”存在。不过最近的研究中，也有学者指出，“丁”是否一定为折算赋税额并无定例，而是依当地情况而定。笔者认为，人丁数并非一定指赋税额，人丁数、赋税额的尾数相似，但概念不尽相同，人丁尾数与粮载丁或以田起丁的计算方法有关，未必一定都要转为赋税。出现分数、小数人丁情况，只是古人用算位标记的一种方法，视情况既可以表示为按比例分配后的数据，也可表示真实数据。

申斌指出在明代赋役文本中，“征收与会计项目已经分离，仅表示应征银额的会计过程，与实际征收并无直接关系。”这个折算可以和赋税额挂钩，也可以不和赋税额挂钩。前辈学者之所以将人丁作为赋税单位而非实际人数，大致受何炳棣先行研究中“人丁问题”之影响所致，人丁为分数的诡异现象比较容易被捕捉到，但如果我们将视野扩大到一切赋税类统计项目来看，这种统计表述其实具有一般性。除赋税、人口外，征收物料（如弓、箭、狐狸皮、牛角等）的分数、小数形式也带有“分、厘、毫”等算位，其并非赋税单位，而是按原有单位下的“折算单位”，用以记录“文本”上的分数。

比如康熙《河南赋役全书》的“起运”部分，对本折物料的记载为牛角“四副六分八厘六毫五丝五忽一微五纤”、狐皮“一张二分七厘八毫一丝”等，按河南省算位（见表1）转写成阿拉伯数字为：弓11折牛角11副，每副折银 4两，共24两，除荒实征牛角4.686 551 5副，除荒实征银 18.746 206两。狐皮3张，每张额银0.5两，铺垫银0.24两，共银2.22两，除荒实征狐皮1.278 1张，除荒实征银0.945 794两。麂皮原额10张，每张价银0.6两，铺垫银0.24两，奉文改折共银8.4两，除荒实征麂皮4.260 5张，除荒实征银3.578 82两。这些都是经过“除荒”折算后，将原有整数物料改为分数形式表述。因此我们不能一概而论，断言无前后文背景的牛角的“副”与狐皮、麂皮的“张”是否为真实数目或者赋税单位。

表示人的“丁”也是同理。存留分配的官署衙门中出现的门子、皂隶人数虽多为整数，但也可能出现分数，如《山东益都县赋役全书》存留部分， “药材医兽”的人员都是“半名”，显然这并不等同于人丁统计中的“余丁”或“半丁”，但在折算性质上，这些例子和人丁概念没有什么区别。可见这在明清人们理解的概念中为一常识，如果将这个“折算单位”和折银率相乘加总，即赋税总额就是“赋税单位”（如弓、牛角、狐皮、麂皮等，乘除荒折银率），但是也有一些情况是不需要和折银率相乘，而可以作为文本上的真实存在，如“除荒”折算前的整数物料，如牛角、狐皮、麂皮以及人丁统计等。正如栾成显所说，“明后期官方的人口统计数字，不过是混合各种类型人口统计的产物，尚不能一概称之为纳税单位。”因此，笔者也认为以往将此类单位命名为“赋税单位”比较笼统，不够准确。事实上，“丁”的表记方法可依记载环境不同，分为“实际数”和“折算单位”两种情况。如在保甲册中，可代表真实人丁数，而在《赋役全书》、地方志类册籍数字中，则有可能代表“折算单位”。

综上所述，本文梳理了明清时期赋税数位书写习惯中“算位”的使用问题，并指出了其中一些常见的误读问题。利用银两算位表（表1），我们可以较为方便地转写为阿拉伯数字。此外，延伸到财政制度史的问题上看，我们对按照较长尾数算位记载赋税数额为“伪造的精确”这种理解可能正误参半。也就是说，我们的确可以从很多时人记载中找到胥吏因缘为奸的证据，但也可能夸大了其中的问题。从功能上说，长尾数赋税数字对定额化财政不仅需要，而且必要，这也是其事实上并未笼统“删繁就简”，而长期保留下来的原因。由于算盘核算技术上的特点，地方田赋数字尾数的混乱对古人来说，并不成为一个问题，相反却体现了相对精确性的原则，这些“中间过程”在以后校对总、撒数目时非常有用。特别是每亩地折丁、粮、银的数目，因为其中一些是折算后的“人造比率”，并不在实征中完全用到。但在各类赋役册的统计款项中保留这些比率，主要是方便核算时用算盘处理大数乘、除法时，可能用到“流法”，以使运算快捷，并使结果在官定小数位数之内准确无误，否则对于以省为定额的总派征物料本色摊算到府、州、县上之类的数目核算将无从谈起。

因篇幅所限，本文注释及参考文献皆省。

文章来源：《中国经济史研究》2020年04期

作者简介：郭永钦，广东外语外贸大学计量经济史研究中心副教授。返回搜狐，查看更多